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CALCULO Y DISEÑO DE MAQUINAS ELECTRICAS
APENDICE 15 - CAMPOS ELECTRICOS
1.1 MOTIVACION
El estudio de las máquinas eléctricas, y en particular cuando se intenta profundizar sus características y su funcionamiento, debe encararse en la dirección de los campos, y no solo eléctricos y magnéticos.
Merece tenerse siempre presente que G. M. Pestarini, en 1943, inició su libro "Elettromeccanica" destacando la importancia de estos temas, con las palabras cuya traducción libre sigue:
La máquina eléctrica es sede de más campos de entes vectoriales y escalares oportunamente superpuestos:
- un campo eléctrico
- un campo magnético
- un campo de corrientes
- un campo de fuerzas ponderomotrices
- un campo de fuerzas elásticas del material solicitado por las fuerzas ponderomotrices
- un campo de flujos de calor
- un campo de velocidad del fluido refrigerante
Que el constructor debe disciplinar para obtener el resultado prefijado en el modo más seguro, más simple, más eficaz y más económico posible.
Y estas palabras que resonaron en un aula hace más de 50 años son motivo más que suficiente para que observemos algunos temas ligados a la construcción y utilización de máquinas desde esta óptica.
El estudio de los campos nació de la observación experimental de ciertos fenómenos, el fluir del agua del río, la orientación de limaduras de hierro, que generaron la comprensión de las razones físicas de las formas de los campos, interviniendo finalmente las matemáticas que propusieron las ecuaciones diferenciales que los explican.
Además la analogía entre distintos campos permite aplicar la teoría de la semejanza, transfiriendo conocimientos de un área de la física a otra.
Parece lógico siendo nuestra especialidad la eléctrica, orientar el estudio a partir de los campos eléctricos y magnéticos, y transferir estos conocimientos a los otros temas de interés en las maquinas eléctricas, más en general a las distintas ramas de la electrotecnia.
El libro seleccionado para usarlo de guía en el estudio es el de John D. Kraus, "Electromagnetismo" (Mc Graw Hill), y seguimos el orden en el establecido.
Inspiración del enfoque de varios puntos ha sido el ya viejo libro de G. M. Pestarini, Elettromeccanica Volume I "Fondamenti di costruzione comuni a tutte le macchine", también hemos utilizado el libro de Antonio Carrer "Note di Elettrotecnica, indirizzo Correnti Forti" que dedica medio volumen a estos temas, evidenciando su importancia.
Una advertencia, al estudiar estos temas, las herramientas matemáticas son de extraordinaria ayuda, pero pueden hacer perder el sentido físico de los temas que se pretenden analizar, para evitar esto se ha hecho el intento de orientar el trabajo exclusivamente hacia los conceptos físicos, ninguna demostración matemática se ha incluido.
El lector debe aportar su conocimiento de matemática, y si nota su falta, a estudiar para lograr el adecuado soporte, encontrar las demostraciones, entender mejor las cosas, pero en ningún momento perder el sentido físico de lo que se esta analizando.
1.2 CAMPO ELECTRICO ESTATICO
Entre dos cargas eléctricas se presenta una fuerza (Figura 851):
(1)
siendo:
F: fuerza en (N)
r1: vector unitario (versor) en dirección de la recta que une las cargas, y que da sentido a la fuerza
Q1, Q2: cargas eléctricas puntuales (Culomb)
e0: permitividad del vacío = 8.859 ´ 10-12 (F/m)
r: distancia entre las cargas (m)
Para un medio dieléctrico genérico cualquiera
e = er. e0
donde er es la permitividad relativa.
El concepto de cargas eléctricas puntuales es ideal, frecuentemente se hacen modelos ideales para simplificar un problema y acercarse a la solución.
Si la carga Q2 es una pequeña carga de prueba positiva, se define la intensidad del campo eléctrico:
Newton / Culomb = Volt / m (2)
Si la carga Q1 es positiva, y como la carga de prueba también lo es, las cargas se repelen, la fuerza es en la dirección de la recta que une las cargas, en el sentido de alejarlas, y este es el sentido del campo también.
Si hay varias cargas, que consideradas individualmente en un punto nos dan varios campos, el campo total resultante puede obtenerse por suma vectorial de los campos componentes individuales en cada punto, este es el llamado principio de superposición (Figura 852).
Si la carga de prueba positiva se desplaza, a lo largo de un camino Dx, se efectúa cierto trabajo:
F . Dx = trabajo sobre Q2 en Joules o Newton . m
El trabajo por unidad de carga es el potencial eléctrico escalar
volt (3)
El potencial en el infinito es convencionalmente cero, crece en dirección a la carga positiva (Figura 853).
(4)
E y dl son vectores con dirección y sentido, el producto es escalar.
El potencial debido a una esfera cargada Q1 a una distancia r del centro de la esfera resulta:
(5)
Si se sigue la dirección del campo se traza una familia de líneas de campo, en cada punto se conoce la dirección del campo, si partiendo de puntos próximos se trazan varias líneas se observa que la densidad de líneas es proporcional a la intensidad del campo (Figura 854).
La línea de campo indica la dirección de la fuerza sobre la carga exploradora, si se suelta la carga exploradora (que no tiene masa) esta recorre la línea de campo, en dirección de la línea, hacia los potenciales menores, estas líneas se llaman también de desplazamiento y el flujo de desplazamiento eléctrico.
Las líneas equipotenciales son normales a las líneas de campo, en efecto si la fuerza es normal al camino no se hace trabajo (se conserva el potencial).
Se recomienda la lectura de John D. Kraus, Electromagnetismo (Mc Graw Hill) sección 2-9 Relación entre líneas del campo eléctrico y contornos equipotenciales; ortogonalidad.
Conviene observar campos producidos por cargas, para fijar los conceptos, veamos entonces:
- campo debido a una carga puntual positiva (Figura 854)
En este caso obsérvese el campo no uniforme en proximidad de la carga puntual, las líneas de campo divergentes de la carga, las superficies equipotenciales que a medida que nos alejamos de la carga están cada vez más alejadas entre si.
- campo debido a dos cargas puntuales positivas (Figura 855)
- campo debido a un par de cargas puntuales de signos opuestos (Figura 856)
Obsérvese en estos casos que el campo es simétrico respecto del plano de simetría de las cargas, una mitad del campo espacial es imagen especular de la otra mitad, de aquí comienza a intuirse el método de las imágenes, en un caso imagen de igual signo, y de distinto en el otro.
Para el caso de signos iguales se destaca la línea equipotencial que se cruza sobre sí misma, donde el campo es nulo.
El punto donde el campo y las líneas equipotenciales no son perpendiculares se llama singular.
Para el caso de signos opuestos además obsérvese el campo en una pequeña región en el centro sobre el eje que une las cargas, en esa zona el campo es uniforme, en la proximidad de las cargas no.
Hasta ahora hemos pensado en cargas puntuales, pensemos ahora en distribuciones continuas de carga:
r = Q / v densidad volumétrica de carga
rs = Q / s superficial (característica en la superficie de conductores)
rL = Q / l lineal
Como para el campo eléctrico el potencial eléctrico con distribuciones de carga, se determina aplicando el principio de superposición (del potencial). El potencial eléctrico total en un punto es la suma algebraica de los potenciales individuales en el punto.
(6)
y para distribuciones continuas la sumatoria se reemplaza por la integral
(7)
Observemos una carga lineal indefinida, pensemos se trata de cargas rL . dl, que desde cierta distancia parecen cargas puntuales (fórmula 2), determinamos el campo en una superficie normal a la línea de carga, aplicando superposición
(9)
No debemos olvidar que E es un vector, con dirección r, por lo que si deseamos resultados escalares debemos integrar sus componentes, según una línea paralela a la línea de carga y otra paralela a la normal, la integral se debe extender entre los límites - µ a + µ .
Si el punto en estudio (en la superficie) está a distancia R de la intersección de la superficie con la línea, la distancia r al elemento dl de la línea es:
(10)
El resultado de la integral que se busca entre los valores de l, límites - ¥ e ¥:
El = 0
(11)
También puede ser de interés el resultado del campo que se tiene alrededor de un trozo finito de conductor rectilineo (de longitud dada), eligiendo convenientemente los limites de integración y teniendo en cuenta las proyecciones de E en las tres dimensiones se puede encontrar el campo eléctrico en todo el espacio de interés.
Volviendo al conductor rectilineo indefinido, el campo que se determina es bidimensional, no se distingue entre una superficie normal al conductor y otra.
Vale comparar el campo bidimensional debido al conductor indefinido (punto o círculo en el plano), con el campo tridimensional debido a una carga puntual, (esférica en el espacio), el campo tridimensional varía con la inversa de r2 (fórmula 2) , y el campo bidimensional en cambio varía con la inversa de r.
El potencial debido a un conductor rectilineo indefinido se determina integrando el campo eléctrico:
(12)
La diferencia con el potencial debido a una carga puntual en el espacio (tridimensional ver fórmula 5) es más notable, el potencial en el infinito (para el problema bidimensional) no puede ser determinado, mientras que lo pudimos adoptar nulo para el problema de la esfera cargada (tridimensional).
Hemos visto la expresión integral del campo, y obtenido el potencial, en consecuencia campo eléctrico es el gradiente del potencial eléctrico.
Gradiente de V = Ñ V = - E (13)
El operador gradiente se aplica a un escalar (V potencial), y se obtiene un campo vectorial (-E), se convierte una función escalar en otra vectorial, que físicamente están íntimamente relacionadas.
En matemáticas el operador Gradiente se representa con el símbolo griego Ñ nabla.
En coordenadas rectangulares el operador nabla:
Cuando los problemas presentan particulares condiciones de simetría conviene utilizar coordenadas cilíndricas o esféricas, o en general coordenadas curvilíneas, en cada una de ellas el operador es formalmente distinto aunque su significado es único.
Dos cargas iguales de signos opuestos son un dipolo eléctrico, aplicando la fórmula 5 y 6 se obtiene V.
Fijando el origen de coordenadas entre las dos cargas, y reemplazando las distancias r entre carga y punto (de coordenadas r y J ) por una aproximación válida para r >> l se obtiene (Figura 857):
(15)
donde se llama momento del dipolo al producto Q. l.
Se supone que las líneas de campo conforman tubos, que encierran un flujo, cada tubo encierra una cantidad constante de flujo eléctrico (Figura 858).
D = flujo / área (16)
D es la densidad de flujo
en el vacío D = e0 . E y en un medio D = e . E (17)
Sobre una esfera de radio r, D es la carga distribuida uniformemente.
El flujo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga encerrada, esta ley se conoce con el nombre de Gauss.
(18)
Los materiales conductores conducen o transportan carga eléctrica. El conductor sumergido en un campo eléctrico se comporta de manera de que el potencial sea uniforme en todo el conductor, y para lograr esto se inducen cargas eléctricas (Figura 859). En el interior de los electrodos la intensidad de campo debe ser nula, si no fuera así no serían equipotenciales.
Volviendo al ejemplo de un trozo de conductor rectilineo, de longitud dada, donde se ha encontrado el campo (fórmulas 10) y puede determinarse el potencial en todo el espacio de interés, se observa (estudiando en detalle) que el potencial sobre el conductor obtenido al resolver el problema no es constante, la física nos señala que el potencial en la superficie del conductor es constante, y para ello la distribución de carga a lo largo del conductor debe ser adecuada, no uniforme, de todos modos en primera aproximación se puede aceptar el resultado ideal obtenido.
1.3 CAMPO DEBIDO A ESFERAS CARGADAS
Las fórmulas que se aplican para determinar las equipotenciales del campo eléctrico en el plano del espacio que contiene cierta cantidad de cargas esféricas son muy simples (ver fórmula 6) y se trata de un plano que corta cargas cilíndricas paralelas (ver fórmula 12).
Un programa que aplicando estas fórmulas determina el potencial en la zona de interés es fácil de hacer.
Se ha desarrollado "POTESF" que ingresa cierta cantidad de cargas esféricas o cilíndricas (en rigor puntuales) con sus coordenadas y se determina en un área cuadriculada los valores de potencial.
Para cada punto del plano y cada esfera se debe determinar la distancia entre el punto y el centro de la esfera, controlar que el punto es exterior a la esfera y por superposición del valor correspondiente a todas las esferas se determina el potencial, análogamente si se trata de cilindros.
Los resultados obtenidos se vuelcan a un archivo.
El programa "ISOLUX" (indudablemente concebido para otro uso) levantando estos resultados genera las líneas equipotenciales, que podemos observar (Figuras 855 y 856).
En los resultados se advierten las consecuencias de la hipótesis simplificativa de aceptar asimilar una esfera (o un cilindro) a una carga puntual, el potencial en la superficie de la esfera no es constante, pero es aceptable con cierto error.
Una forma de resolver el problema con exactitud es adoptando una equipotencial como superficie de la esfera (o cilindro) cuyo centro no coincide con la carga puntual.
A modo de ejemplo de los resultados obtenidos con este programa se incluye la (Figura 860) que corresponde a dos dipolos orientados en formas opuestas entre sí y la (Figura 861) con los dipolos orientados en igual forma.
1.4 CAMPO ELECTRICO ESTATICO EN DIELECTRICOS
Un medio homogéneo, es aquel en el cual sus características físicas no varían de un punto a otro.
Un medio lineal es aquel en que se mantiene la proporcionalidad causa efecto entre dos magnitudes relacionadas por una característica física.
Un medio isotrópico es aquel para el cual sus propiedades no dependen de la dirección (en el espacio).
Cuando los medios son homogéneos, lineales, isotrópicos los estudios son más fáciles, y por suerte esta situación puede suponerse frecuente.
La permitividad ya se ha visto que es una característica de los dieléctricos, e 0 para el vacío, e para un medio genérico, e r la relativa.
El flujo eléctrico en un dieléctrico está relacionado con el campo eléctrico, (fórmula 17) en un medio genérico.
Dentro de un medio el campo es continuo, de un punto a otro vecino cambia solo infinitesimalmente, en la frontera, límite del medio, el cambio puede ser abrupto (tanto en magnitud como dirección).
Conviene observar el campo en la frontera a través de sus componentes normal y tangencial.
El campo tangencial en la frontera conductor dieléctrico es nulo (efectivamente, el campo es normal al conductor).
En la frontera entre medios e 1 y e 2 las componentes tangenciales de E son las mismas a ambos lados de la frontera (Figura 877):
(20)
El campo eléctrico tangencial es continuo a lo largo de la frontera entre dos medios (las diferencias de potencial entre dos puntos en los dos medios son iguales).
Sigue el análisis del campo normal, si ambos medios son aisladores perfectos, y se aplica la ley de Gauss:
Dn1 - Dn2 = rs (21)
La carga superficial promedio en la frontera cumple esta última condición, como la frontera entre dieléctricos está normalmente libre de carga:
Dn1 = Dn2 (22)
Siendo a1 y a2 los ángulos de incidencia del campo en la frontera, se tiene:
(23)
Con estas reglas se observa como se quiebran las líneas de campo al pasar de un medio a otro, fenómeno que nos recuerda la refracción de la luz.
Dos conductores, separados por un dieléctrico e , de área A, y espesor d, presentan cierta capacitancia:
(24)
Para dos conductores separados por dos dieléctricos distintos de diferentes espesores, se debe observar como se reparten los potenciales entre los dieléctricos.
(25)
Es interesante observar cual dieléctrico tiene más campo, y explicar el por que de ciertos problemas que quizás han llegado a ser fallas en los dieléctricos de máquinas y aparatos.
Un problema interesante es analizar una burbuja (esfera) de un dieléctrico dentro de otro (aire, polietileno por ejemplo) al que se aplica un campo uniforme, pero para plantear este problema debemos avanzar más.
Si se sobrepasa cierto valor de E se produce una descarga en el dieléctrico, hay una intensidad de campo que el dieléctrico soporta sin descargar.
Para el problema de la burbuja (de aire dentro del dieléctrico) se producen descargas en el aire que se relacionan con el fenómeno de descargas parciales.
El campo E es proporcional a la densidad de carga superficial del metal, y aumenta cuando el radio de curvatura se hace pequeño.
Lectura recomendada John D. Kraus, Electromagnetismo (Mc Graw Hill) sección 3-11 pag 82 - distribuciones del campo.
Merece observarse el campo alrededor de una línea finita de carga, y como límite (caso extremo) una línea infinita, problemas que ya se han resuelto al menos idealmente.
El caso de dos líneas infinitas separadas por cierta distancia también puede resolverse. El problema de un conductor lineal, y un plano de retorno infinito, se puede resolver como dos líneas infinitas paralelas haciendo la imagen del conductor lineal (suponiendo que el plano es un espejo).
Otra lectura D. Kraus, Electromagnetismo (Mc Graw Hill) sección 3-19 página 92 - Mapas de campo y celdas de campo.
Cuando todas las secciones transversales son iguales el problema es bidimensional.
Es fácil observar las celdas de campo, capacitores que son celdas de campo, todas de la misma capacitancia c1, se tienen np en paralelo, y ns en serie, la capacitancia resultante es:
(26)
Si la geometría de los capacitores (cuadrados) satisface:
b / l = 1 entonces c1 / d = e (27)
El campo eléctrico se puede obtener resolviendo la ecuación de divergencia de Maxwell, que se obtiene a partir de la ley de Gauss.
Divergencia D = r (28)
Recordemos que r es la densidad de carga eléctrica, y de estas se obtienen las ecuaciones de Poisson:
Divergencia del Gradiente de V = Ñ2 V = 
(29)
Y de Laplace, cuando no hay carga r
Divergencia del Gradiente de V = Ñ2 V = 0 (30)
Observemos el operador Ñ2 es la divergencia del gradiente, primero sobre V se opera y obtiene el gradiente (campo E) luego se aplica el operador divergencia. En matemáticas, y en coordenadas rectangulares el operador Ñ2:
(ver la ultima hoja del libro de Kraus, particularmente para coordenadas rectangulares y otros sistemas de coordenadas).
Alrededor de una carga eléctrica en el espacio pueden imaginarse superficies equipotenciales y líneas de fuerza (de campo) perpendiculares entre si, la superficie equipotencial próxima al cuerpo (cargado) copia la forma del cuerpo, la superficie alejada tiende a la forma de la esfera, si el espacio es limitado, en la proximidad de los límites, copiará su forma, pero en los diedros cóncavos especialmente tenderá a deformar la superficie equipotencial tendiendo a la esfera.
El campo eléctrico es muy fácil de comprender, cuando se piensa en dos placas planas separadas, entre ellas el campo se intuye fácilmente.
También si los cuerpos entre los que se forma el campo tienen forma cualquiera es posible resolver el problema, pero si se dan ciertas condiciones de simetría la resolución es más simple, por esta razón al encarar un problema siempre debe buscarse la eventual presencia de esta situación.
1.5 RESOLUCION DE LA ECUACION DE LAPLACE
Idealmente se puede medir el campo en cada punto, medir el potencial y dibujar un mapa de campo. Si el problema es plano (bidimensional) esta tarea parece mucho más fácil.
Ya hemos visto que el problema esta planteado en una ecuación diferencial, la forma de resolverla es estudiando matemáticas... pero no siempre esto es rápido y simple, las computadoras hoy nos permiten obtener soluciones en relativamente poco tiempo, utilizando distintos métodos, los más fáciles de implementar son numéricos.
El cálculo numérico permite determinar el potencial en cada punto, el campo bidimensional que se quiere estudiar se divide con una cuadrícula regular, el método consiste en obtener el potencial en un punto de la cuadrícula como función (se demuestra que es el promedio) de los cuatro puntos que lo rodean.
Este método se llama método de relajación y en base a él se ha desarrollado un programa llamado "POTRES" para resolver el potencial de un campo bidimensional.
Para esto primero se define el área (cuadrada) de estudio del campo, cantidad de puntos en los que se determina el potencial. En rigor se debe dar la cantidad de segmentos que contiene un lado del campo que es uno menos que la cantidad de puntos del lado.
Supongamos en el primer enfoque que el campo es bidimensional plano.
Estos datos se preparan en un archivo de datos correspondiente al problema, el archivo esta relleno con caracteres adecuados que se convierten en valores de contorno, y reglas de cálculo para los otros puntos.
Se hace el cálculo, y se genera la tabla de valores, matriz de resultados, con el valor del potencial en cada punto, también puede generarse una tabla de valores que permiten, con el programa "ISOLUX" que traza isopletas, ver el mapa de líneas equipotenciales.
Los resultados obtenidos permiten trazar las líneas equipotenciales en el plano, como estas líneas son perpendiculares a las líneas de campo, entonces se puede intentar trazar las líneas de campo a mano, pero también se puede plantear un problema dual y obtener equipotenciales duales cuyo significado es el de líneas de campo, que contienen tubos de flujo.
El programa incluye una opción que ayuda a convertir el archivo de datos a uno dual para trazar el campo normal, en este caso deben corregirse en general los puntos de contacto entre equipotenciales y líneas de campo de frontera.
El lote de datos se prepara en un rectángulo lleno de caracteres que representan puntos del espacio. A cada punto del rectángulo corresponde una letra o un número que asignan al punto cierto significado:
0, 1 a Q: potencial de una línea equipotencial valor 0, 10 a 100
V: el potencial intermedio entre 0 y Q, que se calcula interpolando
E: punto externo al campo, no se calcula el potencial
I: punto interno al campo, se calcula usando los cuatro puntos N S E W
J: que se explicara más adelante
C o D: línea de flujo
Si el área es plana se calcula el campo plano, los datos son suficientes.
De la descripción de datos se observa que para los puntos I (internos) no se conoce el potencial (para los V tampoco), para los otros esta impuesto, el método de resolución es de aproximaciones sucesivas, y para iniciar en buenas condiciones se asigna a los puntos de potencial desconocido el potencial promedio, determinado en base a todos los puntos de potencial conocido.
Para cada punto i, j, se observa su ubicación y característica de posición.
Si el punto es externo no se calcula, no interesa su potencial.
Si es una equipotencial no se calcula, se conoce su potencial.
Si es un punto de potencial intermedio, se debe calcular interpolando entre los valores conocidos de los puntos equipotenciales que se encuentran a los lados, o utilizando los potenciales intermedios (de los puntos laterales con potencial intermedio) calculados a ese momento (en la siguiente iteración se corrigen), usando un método similar al que a continuación se expone.
Para los puntos internos se debe calcular:
residuo (i, j) = V(i - 1, j) + V(i + 1, j) + V(i, j - 1) + V(i, j + 1) - 4 ´ V(i, j)
Si se trata de un vértice, o si es una línea de flujo límite C o D, los puntos exteriores no tienen valor pero a los fines del cálculo se adoptan con igual valor que los correspondientes interiores. Se logra así que el campo cumpla las condiciones de borde.
Con el residuo se corrige el potencial en el punto, y esta operación se repite hasta que los residuos sean suficientemente pequeños, es decir los potenciales entre dos iteraciones no cambien más.
(31)
Un proceso de cálculo es determinar todos los residuos y luego todos los potenciales se corrigen.
También se propone el proceso de corregir el potencial en un punto inmediatamente de calculado el residuo en ese punto, además eventualmente es conveniente usar un coeficiente a de aceleración (o frenado)
Se obtienen así por aproximaciones sucesivas los potenciales en todos los puntos que son de interés, este método es denominado de relajación.
Debe observarse que los valores o condiciones en el contorno, frontera, del área estudiada definen el resultado que el programa finalmente entrega.
Lo dicho vale para campo bidimensional plano en coordenadas rectangulares.
El campo puede ser con eje de rotación (simetría cilíndrica), se trata entonces de estudiar una cuña, cuerpo de simetría alrededor de un eje y, debe definirse el radio R0 entre el eje y el borde del área de estudio medido en unidades de la cuadrícula.
Para este caso el potencial debe satisfacer:
El método es igual, pero se determina un factor de corrección por el campo cilíndrico (que es nulo si se trata de campo plano) y se suma al residuo antes presentado:
(32)
residuo (i, j) = V(i - 1, j) + V(i + 1, j) + V(i, j - 1) + V(i, j + 1) - 4 ´ V(i, j) + DD
Obsérvese que con R0 muy grande este factor de corrección se hace insignificante, el campo se convierte en plano.
Cuando el eje de rotación está incluido en el área estudiada (esto es válido si se fija R0 = 0, o muy pequeño) las fórmulas indicadas para determinar el residuo y la ulterior aproximación de V(i, j) no son aplicables a los puntos del eje.
Para este caso particular 
es nulo pero desarrollado en serie de Taylor puede demostrarse que 
y la condición que deben cumplir los valores de V es:
4 V(i + 1, j) + V(i, j - 1) + V(i, j + 1) - 6 V(i, j) = 0
lo que permite determinar la ulterior aproximación de V(i, j).
1.6 RESOLUCION DE LA ECUACION DE POISSON
Recordemos la ecuación de Poisson (ver ecuación 29), para algunos puntos internos al área en estudio que llamamos tipo J (en lugar de I) se tiene el valor de r que es dato (carga eléctrica distribuida en el espacio).
El método de cálculo numérico expuesto antes debe incluir una ulterior corrección, al valor del residuo se debe sumar para los puntos J un término adicional PP:
residuo (i, j) = V(i - 1, j) + V(i + 1, j) + V(i, j - 1) + V(i, j + 1) - 4 ´ V(i, j) + PP
Esta corrección supone que la carga esta distribuida en una celda, un cuadrado comprendido entre cuatro puntos, es decir al menos se deben tener cuatro puntos próximos de tipo J.
Si hay carga en todo el espacio el punto J estará rodeado por todos puntos J, en este caso:
(33)
Si nos encontramos en un borde de la zona de carga, el punto J estará con solo 3 puntos J vecinos, y entonces:
(34)
Si nos encontramos en un vértice, el punto J estará con solo 2 puntos J vecinos, y entonces:
(35)
Si sólo hay un punto J vecino, el problema está mal planteado, ya quedamos que al menos debíamos tener una celda, rodeada por 4 puntos conteniendo carga eléctrica.
Si los puntos están sobre una única línea, el caso también esta mal planteado, y entrará en crisis en los extremos de la línea donde aparece un solo punto J vecino al extremo.
Observemos que el programa sólo permite resolver el caso de que la carga distribuida tenga un único valor en todos los puntos en que se la considera, esta es una restricción para no tener que informar demasiados datos al programa, pero se puede modificar el programa, o desarrollar otro, para casos más complejos (si efectivamente fuera necesario).
1.7 CORRIENTE ELECTRICA ESTACIONARIA
Hemos visto la fuerza que se presenta sobre una carga de prueba introducida en un campo eléctrico:
F = q . E (36)
y si la carga es libre de moverse sufrirá una aceleración, pero finalmente si hay más cargas chocará con las otras y se moverá con cierta velocidad media observándose cierta densidad de corriente J.
Si el medio en que se presenta el campo eléctrico es conductor, esto es lo que ocurre. Recordemos ahora la ley de Ohm
(37)
Esta ley está dada en forma macroscópica, se supone que R es independiente de I, lo que es válido en la generalidad de los casos, problema lineal.
A partir de la fórmula 37 y aplicándola a superficies y longitudes infinitesimales surge la ley de Ohm en un punto (microscópica) es:
J = s . E (38)
s es la conductividad del material, supuesto isotrópico y lineal (inversa de la resistividad)
J densidad de corriente
Las líneas de campo y de corriente tienen igual representación, tubos de corriente como los tubos de flujo, y superficies equipotenciales normales.
Las corrientes eléctricas distribuidas en un espacio tridimensional según una repartición, en régimen constituyen los campos de corriente estáticos.
La divergencia de J es la continuidad de la corriente, en estado estacionario:
Divergencia J = 0 (39)
En estado no estacionario (debe haber una fuente de corriente):
Divergencia J = - 
(40)
También esta es una relación de continuidad que muestra la conservación de la carga, la derivada de r respecto de t es la corriente que se inyecta en un punto o área del campo en estudio.
Análogamente al campo eléctrico, y sus líneas equipotenciales, con estas relaciones se justifica el campo de corrientes y sus líneas equipotenciales.
Comparemos el campo eléctrico estático, y la corriente estacionaria, a fin de establecer analogías.
El campo eléctrico en un dieléctrico cumple la ecuación 17 que se compara con la 38, ley de Ohm en un punto.
El campo de flujo eléctrico es análogo al de corrientes, la permitividad es análoga a la conductividad, equipotenciales y líneas de campo eléctrico se corresponden en ambos problemas, compárese la divergencia del campo eléctrico ecuación 28 con la divergencia de J en estado estacionario ecuación 40.
Ahora se observa que la carga distribuida en el campo eléctrico, es análoga a la corriente inyectada en el campo de corrientes y a la ecuación de Poisson para el campo eléctrico, ecuación 29, corresponde la ecuación del campo de corrientes:
(41)
La ecuación de Laplace, para la tensión es válida en ambos campos cumpliéndose la 30.
Se resuelven ambos problemas con un mismo método, la analogía entre ambos problemas es inmediata, la resolución del campo electrostático con la obtención de las equipotenciales (superficies o líneas de nivel) resuelve el campo de corrientes (que es ortogonal).
En el estudio del campo eléctrico se ha introducido el concepto de celdas de campo, capacitores elementales, ver ecuación 26.
Introduzcamos por analogía para el campo de corrientes la celda conductora elemental de conductancia:
(42)
Si la geometría es cuadrada la ecuación 27 se transforma en la análoga:
g1 / d = s (43)
Se establece una relación entre el campo de corrientes y el campo eléctrico, el potencial en el campo de corrientes es más fácil de medir, y este es el principio de la cuba electrolítica, analogía que hasta la popularización de las computadoras permitió resolver con rigor (y con trabajosa complicación) los problemas de campos.
Deben destacarse algunas diferencias que se observan en la frontera, veamos el caso del campo de corrientes con frontera conductor-aislador.
En el conductor vale la 38, en el aislador (perfecto) resulta:
J = 0 (44)
En la frontera la corriente debe fluir tangencialmente, y por continuidad del campo eléctrico la componente tangencial del campo debe ser igual en ambos medios (conductor y aislador).
Cuando fluye corriente en un conductor, este no es equipotencial hay diferencia de potencial en la dirección de la corriente, en el aislador además del campo tangencial se presenta campo normal (generalmente mucho mayor) aun en la frontera (Figura 878).
Otro ejemplo para estudiar es la frontera entre dos conductores de distinta conductividad (que puede plantearse en analogía con el campo eléctrico) (Figura 879).
Jn1 = Jn2
Et1 = Et2 (45)
Siendo a1 y a2 los ángulos de incidencia de las líneas de corriente en la frontera, se tiene:
(46)
Lectura recomendada John D. Kraus, Electromagnetismo (Mc Graw Hill) sección 4-16 página 145 - trazado de mapas de corriente y la resistencia de las geometrías simples: celdas de conductor.
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